Đề 4 - Đánh giá tư duy Bách Khoa TSA 2025
Phần thi: Tư duy toán học (60 phút)
Câu 1
Điền từ/cụm từ thích hợp vào chỗ trống.
Trong không gian với hệ trục tọa
độ 
,
cho mặt cầu 
có
phương trình là
.
Cho ba điểm 
nằm
trên mặt cầu sao
cho 
.
Diện tích tam giác 
có
giá trị lớn nhất bằng (1)
Câu 2
Điền từ/cụm từ thích hợp vào chỗ trống.
Bác Cường là một người
chuyên vệ sinh cửa sổ. Số tiền khách hàng phải
trả cho bác mỗi lần lau cửa sổ được
tính bằng công thức sau: 
(nghìn
đồng) trong đó 
là
số cửa sổ cần vệ sinh. Nếu khách hàng
thuê bác Cường vệ sinh 7 cửa sổ thì số tiền
khách hàng phải trả là (1) nghìn đồng.
Câu 3
Cho hai hàm số 
và
đều
có đạo hàm trên 
và
thỏa mãn
,
với 
.
Tính
.
Câu 4
Điền từ/cụm từ thích hợp vào chỗ trống.
Cho hàm số thỏa
mãn 
và
.
Giá trị của 
bằng
(1) .
Câu 5
Một chiếc hộp có 80 viên bi, trong
đó có 50 viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi
có kích thước và khối lượng như nhau. Sau
khi kiểm tra, người ta thấy có 
số
viên bi màu đỏ đánh số và 
số
viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại
không đánh số.
Các mệnh đề sau là đúng hay sai?
Mỗi phát biểu sau đúng hay sai
|
Số viên bi màu đỏ có đánh số là 30. |
|
|
|
Số viên bi màu vàng không đánh số là 15. |
|
|
|
Lấy ra ngẫu
nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi
được lấy ra có đánh số là |
|
|
|
Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp.
Xác suất để viên bi được lấy ra không
có đánh số |
|
|
Câu 6
Cho cấp số nhân 
có
số hạng đầu 
và
.
Công bội q bằng
Câu 7
Có 6 chiếc ghế được kê
thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm
3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp 
và
1 học sinh lớp 
,
ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có
đúng một học sinh. Xác suất để học
sinh lớp chỉ
ngồi cạnh học sinh lớp bằng
Câu 8
Điền từ/cụm từ thích hợp vào chỗ trống.
Trong không gian Oxyz, cho điểm 
và
mặt phẳng 
.
Gọi 
là
đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng
và
H, K lần lượt là hình chiếu của M, N trên
đường thẳng .
Khi 
thì
trung điểm của HK luôn nằm trên đường thẳng
cố
định. Điểm thuộc đường
thå̉ng luôn
có cao độ bằng (1) .
Câu 9
Điền từ/cụm từ thích hợp vào chỗ trống.
Biết 
là
hai nghiệm của phương trình 
.
Giá trị của 
bằng
(1) 
.
Câu 10
Cho hình lập phương 
cạnh
,
trên 
lấy
điểm 
sao
cho 
đồng
phẳng. Diện tích 
của
tam giác 
bằng
Câu 11
Bạn An dùng một sợi dây thép dài
20 m chia làm hai phần. Phần thứ nhất uốn thành
một tam giác đều và phần thứ hai uốn thành
một hình vuông. Gọi chiều dài của cạnh tam giác
đều là 
.
Mỗi phát biểu sau đúng hay sai
|
Độ
dài cạnh của hình vuông là |
|
|
|
Hàm số biểu diễn tổng diện
tích của hai hình bạn An đã uốn là |
|
|
|
Khi |
|
|
|
Khi |
|
|
Câu 12
Điền từ/cụm từ thích hợp vào chỗ trống.
Cho hàm số 
liên
tục trên 
và
có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện
tích các phần 
lần
lượt bằng 3 và 7. Tích phân 
bằng
(1) .
Câu 13
Công nghệ hỗ trợ trọng tài
VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa
độ Oxyz (đơn vị độ dài trên mỗi
trục tính theo mét) để theo dõi vị trí của quả
bóng M. Một trong số các camera có phạm vi quan sát là mặt
cầu 
.
Cho biết 
đang
nằm trên mặt sân có phương trình 
đồng
thời nằm trên đúng vùng biên quán sát của camera nói
trên.
Các mệnh đề sau là đúng hay sai?
Mỗi phát biểu sau đúng hay sai
|
Camera trên đặt tại điểm I(−32;−50;−8). |
|
|
|
Camera trên có phạm vi bán kính quan sát là 10 m. |
|
|
|
Hình chiếu của camera trên mặt sân là điểm J(32;50;0). |
|
|
|
Khoảng cách từ quả bóng đến hình chiếu của camera trên mặt sân là 5m. |
|
|
Câu 14
Cho hàm số 
.
Để đồ thị hàm số có 
là
tiệm cận đứng và 
là
tiệm cận ngang thì tổng 
bằng
bao nhiêu?
Câu 15
Điền từ/cụm từ thích hợp vào chỗ trống.
Biết 
.
Giá trị của 
(1)
và 
với
là
các phân số tối giản (nếu có).
Câu 16
Cho phương trình 
,
tổng lập phương các nghiệm thực của
phương trình là
Câu 17
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
thuộc
đoạn 
để
đồ thị hàm số 
có
hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc
tọa độ?
Câu 18
Trong không gian tọa độ 
,
cho đường thẳng 
và
điểm 
.
Viết phương trình đường thẳng 
đi
qua điểm 
,
cắt và vuông góc với đường thẳng 
.
Câu 19
Cho phương trình 
.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa
mãn 
?
Câu 20
Cho hàm số 
.
Các mệnh đề sau là đúng hay sai?
Mỗi phát biểu sau đúng hay sai
|
Với |
|
|
|
Không có giá trị nào của tham số |
|
|
|
Với |
|
|
|
Để
giá trị nhỏ nhất của hàm số |
|
|
Câu 21
Ban đầu, vườn cây ăn quả có 50 cây táo và mỗi cây có sản lượng là 800 quả. Người chủ vườn dự định trồng thêm táo. Tuy nhiên khi trồng thêm mỗi cây táo vào trong vườn thì sản lượng mỗi cây táo giảm 10 quả.
Mỗi phát biểu sau đúng hay sai
|
Khi số táo trong vườn là 41250 quả thì vườn trồng 5 cây táo. |
|
|
|
Số táo trong vườn khi trồng thêm 16 cây ít hơn khi trồng thêm 13 cây. |
|
|
|
Vườn đạt sản lượng cao nhất khi có 65 cây táo trong vườn. |
|
|
|
Sản lượng táo tối đa của vườn cây là 42250 quả. |
|
|
Câu 22
Điền từ/cụm từ thích hợp vào chỗ trống.
Trong không gian với hệ tọa độ
,
cho mặt cầu 
.
.
Gọi E là tập tất cả các giá trị của để
mặt cầu tiếp
xúc với mặt phẳng 
.
Tổng các phần tử của E bằng (1) .
Câu 23
Khi sản xuất vỏ lon sữa bò
hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục
tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức
là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất.
Muốn thể tích khối trụ đó bằng 
và
diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất
thì bán kính đáy của hình trụ phải bằng bao
nhiêu?
Câu 24
Cho hình chóp 
có
đáy 
là
hình bình hành tâm 
.
Gọi 
là
trung điểm của 
.
Tìm thiết diện của mặt phẳng 
với
hình chóp ,
biết là
mặt phẳng qua điểm và
song song với 
.
Câu 25
Trong mặt phẳng 
,
đường tròn 
có
bán kính bằng bao nhiêu?
Câu 26
Cho hàm số 
có
bảng biến thiên như sau:
Mỗi phát biểu sau đúng hay sai
|
|
|
|
|
Hàm số đồng biến trên |
|
|
|
Giá trị cực đại của hàm số bằng 0. |
|
|
|
Có 2 giá trị nguyên của |
|
|
Câu 27
Bạn muốn lưu lại câu hỏi?
Trong không gian 
,
cho điểm 
,
mặt phẳng 
và
mặt cầu 
.
Gọi là
mặt phẳng đi qua 
và
vuông góc với 
,
đồng thời mặt phẳng cắt
mặt cầu 
theo
giao tuyến là đường tròn 
có
bán kính nhỏ nhất.
Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:
Bán kính nhỏ nhất của đường
tròn bằng
Hoành độ giao điểm của mặt
phẳng và
trục hoành là
-1
3
Câu 28
Cho 
là
số thực dương. Biểu thức 
được
viết dưới dạng lũy thừa với số
mũ hữu tỉ là
Câu 29
Tính tổng 
của
tất cả các giá trị của 
thỏa
mãn 
Câu 30
Cho tập 
.
Hỏi từ tập A lập được tất cả
bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và
chia hết cho 2?
Câu 31
Ba cầu thủ sút từ chấm phạt đền 11 m, mỗi người đá một lần với xác suất ghi bàn tương ứng là x, y và 0,6 (với x > y). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là 0,336.
Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?
Mỗi phát biểu sau đúng hay sai
|
|
|
|
|
Xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn là 0,56. |
|
|
Câu 32
Điền từ/cụm từ thích hợp vào chỗ trống.
Khi thả một quả cầu có bán
kính 5 cm vào một vật thể hình trụ chứa nước
thì mực nước dâng lên 
cm.
Bán kính của vật thể hình trụ bằng
(1) cm.
Câu 33
Cho hình lăng trụ đứng 
có
.
Gọi 
lần
lượt là trung điểm của 
và
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và
bằng
.
Góc giữa hai mặt phẳng 
và
bằng
.
Mỗi phát biểu sau đúng hay sai
|
Chiều cao của hình lăng trụ |
|
|
|
Thể tích
của khối chóp |
|
|
|
|
|
|
|
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện |
|
|
Câu 34
Cho hàm số có
đồ thị trong hình vẽ bên. Tìm tất cả các
giá trị của 
để
phương trình 
có
đúng hai nghiệm phân biệt.
Câu 35
Tập nghiệm của bất
phương trình 
là
Câu 36
Trong không gian ,
cho điểm 
.
Mặt phẳng chứa 
và
vuông góc với trục 
có
phương trình là
Câu 37
Người ta cần xây một hố
ga chứa nước thải dạng hình hộp chữ
nhật có các kích thước như hình vẽ. Khối
lượng xi măng để trát mỗi mét vuông tường
là 
và
mặt đáy và mặt trên của hố ga dày 20 cm và thành
hố ga dày 10 cm (sau khi trát xi măng). Biết tổng diện
tích bốn mặt xung quanh (mặt ngoài) của hố ga
sau khi trát xi măng là 
.
Coi như hố ga là kín và độ dày của xi măng
trên mỗi mặt tường không quá 
.
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Mỗi phát biểu sau đúng hay sai
|
Dung tích của hố ga là 12 m3. |
|
|
|
Nếu mỗi bao xi măng nặng 50 kg thì cần tối thiểu 18 bao xi măng để trát kín các mặtcủa hố ga. |
|
|
Câu 38
Điền từ/cụm từ thích hợp vào chỗ trống.
Cho khối chóp 
có
đáy là hình bình hành. Gọi 
là
hai điểm nằm trên hai cạnh 
sao
cho 
,
biết G là trọng tâm tam giác SAB. Tỉ số thể
tích 
là
các số nguyên dương và 
.
Giá trị của 
bằng
(1)
Câu 39
Có bao nhiêu số nguyên thỏa
mãn 
?
Câu 40
Điền từ/cụm từ thích hợp vào chỗ trống.
Có (1) số có dạng 
chia
hết cho 15?
Khi đã kết thúc phần thi, bạn sẽ không quay lại phần thi được nữa. Bạn có chắc chắn muốn KẾT THÚC phần thi này?
Thời gian còn lại: